Rovnica x^2 + y^2 = z^2 má nekonečne veľa riešení, sú nimi tzv. Pytagorejské čísla (populárna je predovšetkým hneď ich prvá trojica, 3^2 + 4^2 = 5^2). Geometrická interpretácia tejto rovnice je jasná - nájdi dva také štvorce, z ktorých za dá poskladať tretí. Najrozumnejší spôsob, ako to urobiť, je dať štvorce takto pekne "cez seba" a plochu, kde sa prekrývajú (ich prienik), spravodlivo a rovným dielom rozdeliť do prázdneho miesta budúceho nového veľkého štvorca. Pre slávnu trojicu 3^2 + 4^2 = 5^2 to vyzerá takto, aha. Štvorec 3^2 a štvorec 4^2 sa prekrývajú štvorcom 2^2 a ten sa dá pekne rozdeliť zrovna do prázdnych miest výsledného štvorca 5^2.
Takéto riešenie má jednu ohromnú výhodu. Je symetrické a táto symetria prináša peknú kopu "obmedzení a požiadaviek" na čísla k, m, n. Napríklad k musí byť párne (aby sa k^2 dalo rozdeliť na polovicu) a musí platiť, že k^2 = 2mn .
No, je čas na zápletku. Zliepať štvorce, kocky, štvor- a viacrozmerné kocky takto pekne, symetricky, cez rohy, nie je jediný možný spôsob, ako z nich zložiť dačo väčšie. Bohužiaľ. Aha, už úplne prvá trojica pytagorejských čísiel sa dá zložiť aj takto (viď obr. vľavo). A možností pri skladaní kociek, alebo nebodaj ich viacrozmených príbuzných musí byť rádovo viac. Takže všetko, do čoho som sa s takou chuťou pustil, stálo od samého začiatku na vode, na hlinených nohách, na chybnom predpoklade. Darmo som kreslil, darmo si to celé až sem čítal, darmo (a naivne) si očakával dáku užitočnú infromáciu? Ale nie.
Vráťme sa k štvorcom a pytagorejským číslam. Ak má štvorec, ktorý je ich prienikom, hranu k a platí, že k^2 = 2mn, tak jeden štvorec má hranu k+m, druhý k+n a výsledný k+m+n. To sa dá ohromne pekne využiť pri generovaní aj riadne veľkých pytagorejských čísiel len tak, rovno z hlavy.
Aha, nech je napr. k=42. Súčin mn potom musí byť polovicou k^2, teda napr. "obdĺžnik", m=21 a n=42 a potom (42+21)^2 + (42+42)^2=(42+21+42)^2, čo je 63^2 + 84^2=105^2. Alebo "obdĺžnik" m=7 a n=126 (dostal som sa k nemu z toho predošlého takto m=21/3 a n=42*3) a hneď máme pytagorejskú trojicu 49^2 + 168^2=175^2 . Alebo (načo sa trocháriť) nech je k=2018. Potom m=1009, n=2018, pytagorejská trojica 3027^2 + 4036^2=5045^2. Rovno z hlavy! A hneď! Takéto skills musia (teda aspoň v určitých kruhoch) vyvolať záujem, nie? ;-)
Ďakujem za pozornosť